bloque 1

UTILIZAS ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y RELACIONES METRICAS

ÁNGULOS

De acuerdo a las definiciones científicas, los ángulos son aquellas figuras constituidas por la

conjuncion de dos líneas en un punto común o vértice. Para que un ángulo se forme, las

líneas que forman parte del proceso no pueden ser paralelas entre sí ya que eso implica que

no hay contacto entre ambas y por tanto no se forma ninguna superficie común entre ellas.

Como es bien conocido, hay diferentes tipos de ángulos y el grado de inclinación o el

tamaño del mismo dependerán de la distancia que separe a las dos o más líneas

intervinientes en la figura.

CLASIFICACION

ANGULO RECTO =<a=90° ANGULO EXTENDIDO O LLANO^

<a=180°

ANGULO AGUDO= <a= <90° ANGULO OBTUSO= <a = >90°<180°

ANGULO REFLEJO O CONCAVO ANGULO COMPLETO

= <a = >180° <360° <a= 360°

LOS ANGULOS POR SU POCICION

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro.

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

LOS ÁNGULOS 1 Y 3 SON IGUALES, LOS ÁNGULOS 2 Y 4 SON IGUALES

ANGULOS ENTE DOS PARALELAS Y UNA SECANTE

Al trazar dos lineas pueden ocurrir dos situaciones la primera, que se cruzen en un punto;la segunda por mas que se prolonguen no lleguen a unirse

DOS RECTAS SITUADAS EN EL MISMO PLANO QUE NO SE CORTAN SON PARALELAS

Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho angulos, los cuales se presentan por las letras minusculas;estas se clasifican por parejas de acuerdo con la posicion que tienen con la secante.

1. angulos colaterales internos;son angulos que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.

LOS ANGULOS COLATERALES SON:

<c y <f; <e y <d.

2 los angulos colaterales externos son aquellos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de las rectas.

LOS ANGULOS COLATERALES EXTERNOS

SON:<c y <g;<d y <h

3 los angulos correspondientes son los ángulos que se encuentran en un mismo lado de la secante formando pareja, un interno con externo LOS ANGULOS CORRESPONDIENTES

SON:<a y <e; <c y <g;

<b y <f; <d y <j

4 los angulos alternos internos: son los angulos internos en unoy otro lado de la secante.

LOS ANGULOS ALTERNOS INTERNOS SON:

<e y <d;<c y <f.

5 los angulos alternos externos son los angulos exteriores que se encunetran en uno y otro lado de la secante LOS ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS SON:

<a y <h; <b y <g

ANGULOS POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS.

DOS ANGULOS SON COMPLEMENTARIOS SI LA SUMA DE SUS ANGULOS ES IGUAL A 90°

DOS ANGULOS SON SUPLEMENTARIOS SI LA SUMA DE SUS ANGULOS ES IGUAL A 180°

angulos respecto a un circulo

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

* TRIÁNGULOS*

MEDIDA DE SUS ANGULOS

TRIANGULO ES UNA FIGURA SIMPLE CERREDA FORMADA POR TRES SEGMENTOS NO LINEALES.ES UN POLIGONO DE TRES LADOS. LA SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS INTERIORES ES IGUAL A 180°

TRIANGULO EQUILATERO

ES UN TRIANGULO CON TRES LADOS CONGRUENTES, EJEMPLO DE UN TRIANGULO EQUILATERO:10 CM, 10 CM, 10 CM.

TIANGULO ISOSELES

ES UN TRIANGULO QUE TIENE 2 LADOS CONGRUENTES EJEMPLOS 6 CM 6 CM 8 CM

TRIANGULO ESCALENO

ES UN TRIANGULO QUE NO TIENE NINGUN PAR DE LADOS CONGRUENTES EJEMPLO 5 CM 7 CM 9 CM

CLASIIFICACION DE TRIANGULOS SEGUN SUS ANGULOS

1) Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto.

Tienes a continuación ejemplo de triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras: Al estudiar el triángulo rectángulo hemos de conocer perfectamente este teorema que nos dice:

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

Tomemos como ejemplo el de la figura en el que los catetos miden 3 y 4 cm., respectivamente y 5 cm., la hipotenusa.

Con las medidas de los catetos formamos cuadrados (a y b)

Con la longitud de la hipotenusa formamos otro cuadrado (c):

Si calculas el área del cuadrado formado por el cateto (a): lado al cuadrado obtienes como valor del área: 3 x 3 = 9 cm2

Si a continuación calculas el cuadrado formado por el cateto (b), el valor de su área vale 4 x 4 = 16 cm2

El cuadrado formado por la longitud de la hipotenusa tiene un área de 5 x 5 =25 cm2

Si sumas las áreas de los cuadrados de los catetos, es decir 9 mas 16 obtienes el área formada por el cuadrado de la hipotenusa, 25 cm2

Fíjate en la figura siguiente:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.Siendo a y b las longitudes de los catetos los catetos, y c la longitud de la hipotenusa podemos escribir:

a2+b2=c2

Resuelve:

(a) Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 5 y 6 cm., respectivamente.

El resultado es de 7,81 cm. porque la suma de los cuadrados de los catetos es 25+36=c2 de donde c = raiz cuadrada de 25 mas 36 es igual a 7,81 cm

(b) Sabiendo que la hipotenusa de un triángulo rectángulo vale 10 cm., y uno de los catetos 8 cm.

¿Cuál es el valor del otro cateto?

El resultado es de 6 cm. Porque

diez al cuadrado es igual a ocho al cuadrado nas b cuadrada

2) Triángulos acutángulos, si tienen TRES ángulos agudos(menores de 90º).

En el dibujo siguiente tienes triángulos acutángulos.

3) Triángulos obtusángulos, si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º).

En la siguiente figura tienes triángulos obtusángulos

PROPIEDADES RELATIVAS DE LOS TRIANGULOS

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

2La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°

A + B + C =180º

3 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α = A + B

α = 180º - C

4En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Ejercicio 1)

calcular:

Ejercicio 2)

bisectriz del

, calcular

Ejercicio 3)

encuentre la medida de

Ejercicio 4)

En la figura,

, entonces cuál(es) de las siguientes relaciones son siempre verdaderas:

Alternativas

a) solo I
b) solo II
c) solo III
d) I, II y III
e) I y II

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

1

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

2

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′

C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

3

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

4

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9

bloque 2

*CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS*

CRITERIOS SE CONGRUENCIA

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.

a ≡ a’

b ≡ b’

c ≡ c

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL

Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

b ≡ b’

c ≡C’

Tercer criterio de congruencia: ALA

Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado

α ≡ α’

b = b´

→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Observa los siguientes triángulos:

Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triágulos tienen entre si la misma forma y tamaño.

Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo

Definición:

Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.

Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:

Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:

También tienen ángulos respectivamente congruentes:

Entonces es posible afirmar que

Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia.

Si, por ejemplo, tenemos Δ ABR Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán:

Y los ángulos respectivamente congruentes serán:

Criterios de congruencia

Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes.

Estas son:

1.- Congruencia de sus lados

2.- Congruencia de sus ángulos

Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.

Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:

Postulado LAL

LAL significa lado-ángulo-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.

Postulado ALA

ALA significa ángulo-lado-ángulo.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.

Postulado LLA

LLA significa lado-lado-ángulo

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

Postulado LLL

LLL significa lado-lado-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

BLOQUE III

PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS Y TEOREMA DE PITAGORAS

*CRITERIOS DE SEMEJANZA*

3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

PROBLEMAS

Razona si son semejantes los siguientes triángulos:

TEOREMAS DE TALES (LOS DOS TEOREMAS DE TALES )

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triangulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Aplicación del Primer Teorema de Tales

Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, lascircunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.Este teorema (véase figuras 1 y 2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de losángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostración:

TEOREMAS DE PITÁGORAS Y SUS APLICACIONES

Teorema de Pitágoras:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Para entrar en materia, es necesario recordar un par de ideas:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos.

AC = cateto = a

BC = cateto = b

AB = hipotenusa = c

La expresión matemática que representa este Teorema es:

hipotenusa² = cateto ² + cateto²

c²= a² + b²

Si se deseara comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

El siguiente esquema representa lo dicho anteriormente:

PROBLEMAS

1) Un triángulo rectangulo tiene catetos 7 y 9 respectivamente, Calcular la hipotenusa.

c es la hipotenusa

c² = 7² + 9²

c² = 49 +81

c = √(130)

c=11.4018

2) Un triángulo rectángulo que también es isosceles tiene una hipotenusa de 14 cm calcular la

medida de sus catetos.

como es un triángulo isosceles entonces tiene dos catetos iguales, por lo tanto:

a² + a² = 14²

2a² = 196

a² = 196/2

a= √(98)

a= 9.86

cada uno de los catetos mide 9.86

3) Se tiene un triángulo equilatero de 10 cm por lado calcular su área.

fórmula del triangulo b.h/2

la base es 10

la altura es B² = 10² - (10/2)² ---------(B es un cateto)

C² = 100 -25

C= √(75)

C= 8.66

entonces la fórmula del Área queda:

bXH/2

(10)(8.66)/ 2

43.3

el Área es 43.3 cm

4) Los lados de un triángulo rectángulo estan dados por: x, x-2, x+2; Obtener la medida de cada lado.

el teorema dice: C² = A² + B²

entones sustituimos:

C² = (x+2)²

A² = (x)²

B² = (x-2)²

(x)² + (x-2)² = (x+2)²

desarrollamos los binomios al cuadrado:

x² + x² -4x +4 = x² + 4x +4

x² - 8x = 0

factorizamos y buscamos sus 2 raíces:

x² - 8x = (x-8)(x)

x1 = 8 y x2 = 0

entonces las medidas son:

X = 8

x+2 = 10

x-2 = 6

5) Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 8 cm y su hipotenusa mide 2cm mas que su otro cateto, Calcular la medida de cada lado.

8² + x² = (2+x)²

64 + x² = 4 +4x + x²

60 = 4x

x= 60/4

x= 15

un cateto = 15cm

el otro cateto conocido es de 8cm

y la hipotenusa es de 17

Teorema de Pitágoras

BLOQUE 4

RECONOCES LAS PROIEDADES DE LOS POLIGONOS

POLIGONOS

Un polígono es una figura plana con lados rectos.

Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).

TIPOS DE POLIGONOS

SIMPLE O COMPLEJO

ELEMENTOS Y PROPIEDADES

Vértice (V): Punto donde concurren dos lados.

Lados (L): Segmentos que limitan al polígono.

Centro (C): Punto interior que equidista de cada vértice.

Radio (r): Segmento que une el centro con un vértice.

Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado y es perpendicular al mismo.

Ángulo central (α): Es el ángulo formado por dos radios consecutivos.

Se calcula → Ángulo central = 360° : n donde n es el número de lados del polígono.

Ángulo interior (β): Es el ángulo formado por dos lados consecutivos

                 Para calcular la suma de
                  todos los ángulos interiores → SAI = 180 . (n - 2)

Para calcular un ángulo interior → Ángulo interior = SAI : n

Ángulo exterior (γ): Es el ángulo formado por un lado y la prolongación de otro lado consecutivo al primero

suma de sus angulos = 360

Un ángulo exterior → 360° : n

AREA DE POLIGONOS

Si observas bien la figura, verás que puedes hallar el área del polígono sumando
las áreas de los triángulos iguales.

PROBLEMAS

2) Elige la respuesta correcta:

a) ¿Cuál es el menor número de lados de un polígono para que pueda descomponerse en triángulos?

b) La suma de los ángulos interiores de un heptágono es:

360°
1080°
720°
900°

c) El ángulo central de un eneágono regular mide:

20°
40°
50°
140°

d) Cada uno de los ángulos interiores de un octógono mide:

40°
135°
120°
80°

e) ¿Cuál es el único polígono regular que se descompone en triángulos equiláteros?

Cuadrado.
Hexágono.
Octógono.
Todos los polígonos regulares.

f) ¿Se pueden inscribir los polígonos en una circunferencia

Sólo los cuadrados.
Sólo los hexágonos.
Sólo los regulares.
.NO

g) ¿Cuánto mide el ángulo central de un triángulo equilatero?

120°
Los triángulos no tienen ángulos centrales.
180°
60°

h) ¿Cuál es el área de un pentágono regular de 6 cm de lado y 4 cm de apotema?

120 cm²
30 cm²
60 cm²
240 cm²

ANGULO CENTRAL

ANGULO INTERIOR

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Triángulos

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

90° + 60° + 30° = 180°

80° + 70° + 30° = 180°

¡En este triángulo es verdad!

Vamos a inclinar una línea 10° ...

También funciona, porque un ángulo aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°

La regla general

Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180°al total:

Área de un polígono regular

Observa en la figura como se divide el hexágono regular en seis triángulos congruentes (mismaforma y tamaño). Por lo tanto, el área del hexágono es igual a seis veces el área de cada triángulo.

Decimos: Área del hexágono = 6 x área del triángulo.

Ahora bien:

La base de cada triángulo es un lado del hexágono.
La altura de cada triángulo es la apotema del hexágono. Por lo tanto:

Área del triángulo = base x altura / 2 = lado x apotema / 2 y el área del hexágono = 6 x lado x apotema / 2

¡Pero 6 x lado es el perímetro del hexágono! Por lo tanto:

Área del hexágono = perímetro x apotema / 2

Esta formula es valida para todos los polígonos regulares:

Área del polígono = perímetro x apotema / 2

El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema.

Área de un polígono irregular

El área de un polígono irregular se puede hallar descomponiendo el polígono en otras figuras: triángulos, rectángulos, trapecios, etc.

Observa la figura. Se calcula el área de un polígono como suma de 3 triángulos y un trapecio:

del triángulo ABE = 6 cm x 3 cm / 2 = 9 cm²
del triángulo EDM = 2 cm x 3 cm / 2 = 3 cm²
del trapecio MDCN = 3 cm + 2 cm / 2 x 3 cm = 7,5 cm²
del triángulo NCB = 1 cm x 2 cm / 2 = 1 cm²

Área del polígono = 9 + 3 + 7,5 + 1 = 20,5 cm²

Perímetro de polígonos regulares e irregulares por diversos métodos

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados, es decir, su contorno.

Para obtener rápidamente el perímetro de una figura cuyos lados tienen las mismas dimensiones, se multiplica la medida por el número de sus lados. Por ejemplo, si cada una de las paredes de una habitación mide 3.5 metros, se multiplica esta cantidad por 4, lo que da como resultado 14, es decir, la habitación tiene un perímetro de 14 metros.

En caso de que los lados de la figura sean diferentes, bastará con sumar sus lados.

Para calcular mentalmente el perímetro de distintas figuras, basta con hacer un redondeo de las cifras para que la suma o multiplicación de sus lados sea más sencilla.

Por ejemplo, para calcular el perímetro de la base del Cuadrángulo de las Monjas, de la cultura maya en Uxmal, se sabe que el lado septentrional mide 100 m, el meridional 105 m, el oriental 75 m y el occidental 80 m. Así que:

Sumo las centenas y obtengo 200.
Enseguida sumo las decenas: 70 más 80 y obtengo 150.
Después sumo las unidades 5 más 5 lo cual me da 10.
Por último sumo las tres cantidades obtenidas para obtener un total de 360 metros.

Todo lo anterior sin necesidad de acudir al lápiz y al papel o a la calculadora.

Pero este procedimiento no es el único para obtener perímetros, cada persona es capaz de generar sus propias estrategias para medir el contorno de diversas figuras

bloque 5

empleas las circunferencias

Perímetro del Círculo

El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:

$P = 2r \cdot \pi$ (en función del radio).

$P = d \cdot \pi$ (en función del diámetro).

donde $P \,$ es el perímetro, $\pi \,$ es la constante matemática pi ( $\pi=3.141592653589793238462643383279502884...$ ), $r \,$ es el radio y $d \,$ es el diámetro del círculo.

Área del círculo

Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo de radio $r \,$ , tendrá un area

$A = \pi \cdot r^2$ ; en función del radio (r).

$A = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$ ; en función del diámetro (d), pues $r = \frac{d}{2}$

$A = \frac{C^2}{4 \cdot \pi}$ ; en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),

pues la longitud de dicha circunferencia es: $C = 2 \cdot \pi \cdot r$

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados

Archimedes circle area proof - inscribed polygons.png

El área de un círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto entre el apotema y el perimetro de este poligono es decir: $A = \frac{p \cdot a}{2}$ .

Si se considera la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces el apotema coincide con el radio de la circunferencia y el perímetro con la longitud de la circunferencia. Por tanto el área interior es:

$A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2$

Área del círculo como superficie triangular

Círculo desplegado para conformar un triángulo.

Si en un círculo desplegamos todos sus anillos circulares, y los consideramos como rectángulos, se forma un triángulo rectángulo de altura r y base 2πr(siendo la longitud de la base la de la circunferencia perimetral).

El área A de este triángulo de altura r, será:

$\begin{align} A &{}= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{base} \cdot r \\ &{}= \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r \cdot r \\ &{}= \pi r^2 \end{align}$

semicírculo

Un semicírculo de radio r.

Se llama semicírculo a la mitad de un círculo.⁹ Es la figura geometrica plana (bidimensional) delimitada por un diametro y la mitad de unacircunferencia.

Su área es la mitad de la del círculo. El arco de un semicírculo siempre mide 180°, por ser la mitad de los 360° de un círculo.

El círculo en topología

En geometría y topología, un círculo se denomina disco o bola, según el contexto; será un conjunto cerrado o abierto dependiendo de si contiene o no a la circunferencia que lo limita.

En coordenadas cartesianas, el círculo abierto con centro $(a, b)$ y radio R será:

$D=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 < R^2\}$ .

El círculo cerrado con el mismo centro y radio es:

$\overline{ D }=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}$

El círculo agujereado es el la corona circular.
Una esfera es un objeto tridimensional consistente en los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ que están a una distancia menor o igual a una cantidad fija: el radio de la esfera.

Llamativamente, geómetras y topólogos adoptan convenios diferentes para el significado de "n-esfera". Para los geómetras, la superficie de la esfera es llamada 3-esfera, mientras que topólogos se refieren a ella como 2-esfera.¹⁰

LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Podemos dibujar ángulos que se relacionen con la circunferencia. Según la posición que ocupen reciben nombres apropiados con relación a esa posición.

Cuanto se refiere a los ÁNGULOS en la circunferencia, siempre RELACIONAMOS a éstos con los ARCOS que forman.

1) Ángulo central: nos hemos referido a él en más de una ocasión; se trata del ángulo formado por dos radios que son sus lados y su vértice se encuentra en el centro O de la circunferencia.

En la figura siguiente ves que el arco

corresponde al ángulo central Ô que lo representamos con el acento circunflejo

sobre la letra que representa el vértice del ángulo.

El arco

corresponde al ángulo central

o lo que es lo mismo, la longitud del arco comprendido entre sus lados (los radios) pertenece al ángulo central

y su medida es de 96º.
Cuanto mayor es el ángulo central mayor será la longitud del arco que abarcan sus lados:

Vas a tener en cuenta que cuando representamos con letras un ángulo, por ejemplo

significa que la letra señalada con

en este caso la O, nos referimos a que el vértice del ángulo se encuentra en dicha letra.

Cuando nos refiramos a un arco entre dos puntos señalados con letras, por ejemplo: el arco entre los puntos A y B lo representamos:

Las dos circunferencias de la última figura de igual radio, la longitud del arco vemos que están en razón directa con la medida del ángulo central: a mayor medida del ángulo central corresponde mayor longitud de arco. La longitud

es decir, a 50º corresponde el arco

y a 111º corresponde

y puedes comprobar que a mayor ángulo central corresponde mayor longitud de arco.
Muchas veces cuando nos referimos a las medidas de los arcosde la circunferencia hablamos de lo que miden sus longitudes en: m., dm., cm., pero también podemos referirnos a su medida en grados, minutos y segundos, incluso en radianes.
Cuando decimos que un arco mide 75º12’13’’ quiere decir que su ángulo entral tiene la misma medida.

Las medidas de los arcos de la última figura puedes expresarlos también en grados: el arco mide 50º y arco

111º.
Las medidas de los ángulos y arcos de una circunferencia se miden en grados, minutos y segundos.

15.144 Una circunferencia tiene un radio de 5 m. ¿Cuánto mide un arco de esta circunferencia que corresponde a un ángulo central 60º?

Respuesta: 5,23 m.

Solución:

La longitud total de la circunferencia

m., corresponde a 380º
Una longitud de………………………..X m. corresponden a 60º

15.145 ¿Cuál es la longitud de un arco en metros sabiendo que su ángulo central vale 65º y su radio 8 m.?

Respuesta: 9,07 m.

2) Ángulo inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en un punto de la misma línea de la circunferencia y sus lados la cortan.

Ves que el vértice se encuentra en el punto P de la circunferencia y los lados del ángulo inscrito cortan a la circunferencia en A y en B.

¿Cuál es la medida del arco correspondiente a este ángulo inscrito de 44º? Por supuesto que no se trata de la longitud del arco

por que el ángulo tendría que ser central.

Modo de calcular el valor de un ángulo inscrito:
En primer lugar trazo una línea que une el punto B con el centroO, tal como lo puedes ver en la figura siguiente:

El segmento OB y el segmento OP son iguales por tratarse del radio. Esto quiere decir que si los lados con vértice en O son iguales, los ángulos cuyos vértices están en B y en P serán iguales.
Las medidas de estos ángulos los tienes a continuación y comprobamos que tienen 44º:

Ahora observa bien la figura siguiente que como estudiamos con anterioridad e hicimos la demostración correspondiente sobre elvalor de un ángulo exterior de un triángulo, decíamos que eraigual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes:

El ángulo con vértice en O es igual a los valores de los ángulos cuyos vértices están en B y en P, podríamos escribir:

Vemos que los ángulos

ambos valen en nuestro ejemplo 44º.

La igualdad

podemos escribirla

por ser iguales los ángulos

Esto quiere decir que

podemos escribir:

y de esta igualdad despejamos

Comprobamos que el ángulo central en

vale 88º, es decir, el doble que los ángulos inscritos

y abarca el arco

Esto significa que la medida del arco que abarca el ángulo

o el ángulo

valdrán la mitad de lo que abarca el ángulo central

,es decir,

El valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central, luego, la medida del arco correspondiente a un ángulo inscrito equivale a la mitad del arco que comprenden sus lados o a la mitad del ángulo central correspondiente.

3) Ángulo semi-inscrito: El ángulo semi-inscrito es el que su vértice se encuentra en un punto de la circunferencia, y sus lados, uno es tangente y el otro secante con relación a la circunferencia:

En la figura siguiente señalamos el centro y creamos el ángulo central

. El lado

del ángulo central es perpendicular allado secante

. El lado

del ángulo central es perpendicular al lado tangente

Pasamos a la figura siguiente y puedes ver que hemos creado los ángulos

que abarca el arco

, es decir, los ángulos en

y en

. Estos ángulos son iguales (en este caso miden 46º) porque sus lados son perpendiculares:

El arco

corresponde al ángulo central

de 46º. Podemos escribir:

Como el valor del arco correspondiente al ángulo central es el que abarcan sus lados escribimos:

También podemos decir que:

debido a que OD es mediatriz de CE.

Como el arco

es la mitad del arco

podemos escribir:

Como

, podemos decir que también:

Si ahora sustituyes :

tenemos la igualdad :

La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan los lados.
Todo lo explicado sobre el ángulo semi-inscrito lo puedes ver en el gráfico siguiente:

Sucede como si se tratara de un ángulo inscrito. Comprobamosque la medida del ángulo semi-inscrito equivale a la mitad del ángulo central y es igual, a la mitad de la medida del arco que abarcan sus lados.

¿Qué es una circunferencia?

Concepto: La circunferencia es una linea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Dimensión de la circunferencia:

Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.

Dimensión de la circunferencia:

Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.

Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.

Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.

Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Posiciones relativas de dos circunferencias:

Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.

Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.

Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.

Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.

Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.

Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Una recta puede estar respecto a una circunferencia:

Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.

Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común

Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .

Ángulos de la circunferencia:

Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.

-Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.

-La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

-La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.

Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.

-La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.

-Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.
Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
-La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.

medidas de la superficie limitadas por la circunferencia
Su fórmula es A = π * r²
Donde π es la constante de valor 3.14592….. (que podemos redondear a 3.1416) Y r es la medida del radio del círculo
Circulo

Ejemplo 1

Si se tiene una círculo de 10 cm de radio ¿cuál será su área?
A = 3.1416 * (10 cm)²
A = 3.1416 * 100 cm²
A = 314.16 cm²

Ejemplo 2

Si un círculo tiene 900 cm2 de área. ¿Cuánto mide su radio?
Despejando r de la fórmula original se tiene
r² = A/π
De donde se deduce que r = √(A/π)
Para nuestro ejemplo r =√(900 cm²/3.1416)
r = 16.93 cm

Deducción área del círculo mediante el uso de la geometría

Supóngase que para encontrar el área del círculo se necesita encontrar el área de todos los triángulos que pueden circunscribirse. Tenemos que encontrar el área de uno de estos triángulos y sumar todos los triángulos que sean posibles que de hecho es igual a encontrar el área de un polígono regular circunscrito de ¨n¨ lados.

El problema al parecer es escoger cuantos lados. Pero vamos a suponer que ¨n¨ es tan grande que prácticamente los lados coinciden con la circunferencia.

De esta forma tenemos que el Área del polígono regular es igual n veces el área de cada triángulo y a su vez igual al área del círculo.

Sea Ap el área del polígono que es igual al área del círculo que circunscribe Ac, entonces Ap = n x At, donde At es el área del triángulo
At = ½ * apotema * base = ½ * r * base = el radio es el apotema
Luego el área del polígono es
Ap = n * (½ * r * base) que puede escribirse como
Ac = ½ * r * (n * base) Ec. 1
Recuerde construimos un polígono regular tal que Ap = Ac

Como asumimos que el polígono coincide con la circunferencia y como n * base es igual al perímetro del polígono que en este caso es igual a la longitud de la circunferencia. Concluimos que n * base = 2πr que se sustituye en Ec. 1 para obtener

Ac = ½ * r * (2πr)
Luego Ac = π * r²

Deducción área del círculo mediante el uso del cálculo integral

El área del diferencial (rectángulo) es igual a dA = f(x) dx
Donde dx es la base del rectángulo y f(x) es la altura. Nos ubicamos solo en el primer cuadrante de donde obtenemos que el área de un cuarto del círculo puede expresarse como

Por tanto el área total será

Resolvemos la integral

Cálculo área del círculo mediante integrales

Perímetro del círculo

La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que se hallan a igual distancia de otro punto llamado centro.

El círculo representa el conjunto de puntos que están en el interior de la circunferencia.

El número irracional p (pi), representa un número que es equivalente a tres diámetros y una fracción de diámetro del mismo círculo.

La fracción del diámetro equivale a un número infinito de cifras decimales, por lo cual tomamos como base una aproximación, de este modo: p = 3.14 redondeado a centésimos y p = 3.1416 redondeado a diezmilésimos.

Para localizar p en la recta numérica, se construye una circunferencia de una unidad de diámetro y se marca en uno de sus puntos. Esta marca se coloca en el origen de la recta y se gira la circunferencia, y cuando haya dado una vuelta completa habrá llegado a p.

Así, se puede observar que p es mayor que tres diámetros, pero menor que cuatro diámetros.

Con el propósito de obtener el perímetro del círculo, o circunferencia, se multiplica p por el valor del diámetro.

Así, reflexionando acerca de la circunferencia y el diámetro se tiene que: p es la razón que existe entre la circunferencia y el diámetro. El perímetro del círculo es igual a la longitud de la circunferencia. Por lo tanto, se puede comprender que la fórmula para calcular el perímetro del círculo es:

P = p x d

A manera de ejemplo:

Para obtener el perímetro de un círculo que mide 6 m de diámetro se harían las siguientes operaciones:

P = 3.14 x 6 el resultado sería P = 18.84 m.

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

1

La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

r = 90 : 100 = 0.9 m

L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m

5.65 · 100 = 565 m

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

2

Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?

1 milla = 1 852 m

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

3

La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

4

El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

5

Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

6

Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

7

En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

8

La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

9

Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

10

Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares.

Área del segmento circular = Área del sector circular − Área del triángulo.

bloque 6

describe las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

funciones trigonométricas

En matemáticas las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física , cartografía náutica y telecomunicaciones la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones

DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA

Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.

sistema sexagesimal y circular

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60.

Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. 1 h 60 min 60 s 1º 60' 60'' Operaciones en el sistema sexagesimal Suma

1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman

. 2o paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

3er paso Se hace lo mismo para los minutos. Resta 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos. 2o paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos. 3er paso Hacemos lo mismo con los minutos. Multiplicación por un número 1er paso Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número. 2o paso Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 3er paso · Se hace lo mismo para los minutos. División por un número Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1er paso Se dividen las horas (o grados) entre el número. 2o paso El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. 3er paso · Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos. 4o paso Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos. Medida compleja Es aquella que expresa distintas clases de unidades: 3 h 5 min 7s 25° 32' 17''. Medida incompleja o simple Se expresa únicamente con una clase de unidades. 3.2 h 5.12º. Paso de medidas complejas a incomplejas Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener, como resultado final. Pasar a segundos 3 h 36 min 42 s. Paso de medidas incomplejas a complejas Tenemos dos casos: 1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir. 7520'' 2 Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar. El sistema circular. En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián, es el ángulo cuyos lados comprenden un arco a la circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Un radián equivale a 57° 17’ 44.81‘’ Para encontrar la medición de cualquier ángulo utilizamos el transportador, que usualmente está dividido en 360 partes iguales y cada una de esas partes equivalen a un grado, es decir, está en el sistema sexagesimal. Para encontrar qué tantos grados hay en ángulo, utilizando el transportador, se procede como sigue. 1.- Se hace coincidir la referencia y el cero del transportador con el vértice, de tal modo, que la parte horizontal de la referencia, ( ^ ) con el lado horizontal del ángulo y el otro lado del ángulo marcará en el transportador la magnitud del mismo.

Ejemplos:

1) Expresar

= 200º en el sistema circular.

180º -----------

rad

200º -----------

En este caso, el ángulo queda expresado en forma exacta en función de

, por eso podemos decir simplemente que:

2) Expresar

= 28º 30’ en el sistema circular.

180º -----------

rad

28º 30’ -----------

0,4974 rad

En este caso, recurrimos al uso de calculadora para realizar

0,15833

Como el resultado anterior es una aproximación, no tiene sentido expresar a

en forma exacta, por lo que procedemos a realizar el producto entre 0,15833 y la aproximación del número

.
Como el ángulo no queda expresado en función de

, debemos indicar la unidad de medida rad.

Entonces:

0,4974 rad

3) Expresar

en el sistema sexagesimal.

rad ----------- 180º

-----------

Entonces:

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo $\alpha \,$ , de la siguiente manera:

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

$sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}$

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa:

$cos \, \alpha= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

$tg \, \alpha= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}$

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón recíproca del seno:

$cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}$

La secante (abreviado como sec), razón recíproca del coseno:

$sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}$

La cotangente (abreviado como cot), razón recíproca de la tangente:

$cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}$

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS E INVERSAS

Función trigonométrica directas e inversas

Funciones trigonométricas inversas

Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados ,aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectabas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa recordar la funcion seno la función y= sen x no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar cualquier recta horizontal corta la grafica en mas de un

Punto el dominio

Las funciones trigonométricas llamas directas son:seno
coseno
tangente
secante
cotangente
cosecante

sentido de las razones trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

$A \equiv O$

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo $\alpha \,$ sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos

$\frac{\; \overline{CB} \;}{\overline{OC}} = \frac{\; \overline{ED} \;}{\overline{OE}}$

Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia $\overline{OE}$ y $\overline{OB}$ son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\sin \alpha = \overline{CB} \,$

$\cos \alpha = \overline{OC} \,$

$\tan \alpha = \overline{ED} \,$

tenemos:

$\frac{\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{1}$

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

Primer cuadrante

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo $\alpha \,$ .

Para $\alpha = 0 \,$ , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

$\sin 0 = 0 \,$

$\cos 0 = 1 \,$

$\tan 0 = 0 \,$

Si aumentamos progresivamente el valor de $\alpha \,$ , las distancias $\overline{CB}$ y $\overline{ED}$ aumentarán progresivamente, mientras que $\overline{OC}$ disminuirá.

Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.

Los segmentos: $\overline{OC}$ y $\overline{CB}$ están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero $\overline{ED}$ no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo $\alpha = 0,5 \pi \,$ rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia $\overline{ED}$ será infinita.

El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.

Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

$\sin \frac{\pi}{2} = 1 \,$

$\cos \frac{\pi}{2} = 0 \,$

$\tan \frac{\pi}{2} = \pm\infty \to \mathrm{No \; definida}$

segundo cuadrante

Cuando el ángulo $\alpha \,$ supera el angulo recto el valor del seno empieza a disminuir según el segmento $\overline{CB}$ , el coseno aumenta según el segmento $\overline{OC}$ , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo $\alpha \,$ inferior a $\pi/2 \,$ rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los $\pi/2 \,$ rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente $\overline{ED}$ por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo $\alpha \,$ aumenta progresivamente hasta los $\pi \,$ rad .

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de $\alpha \,$ , $\overline{CB}$ , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para $\alpha = \pi/2 \,$ rad hasta que valga 0, para $\alpha = \pi \,$ rad el coseno, $\overline{OC}$ , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para $\alpha = \pi/2 \,$ rad , hasta –1, para $\alpha = \pi \,$ rad

La tangente conserva la relación:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha} {\cos \alpha}$

incluyendo el signo de estos valores.

Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:

$\sin \; \pi = 0 \,$

$\cos \pi = -1 \,$

$\tan \pi = 0 \,$

Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo $\alpha = \pi \,$ rad a $\alpha = 3\pi/2 \,$ rad se produce un cambio de los valores del seno, el coseno y la tangente, desde los que toman para $\pi \,$ rad

$\sin \frac{3\pi}{2} = -1 \,$

$\cos \frac{3\pi}{2} = 0 \,$

$\tan \frac{3\pi}{2} = \infty \to No \; definida$

Cuando el ángulo $\alpha \,$ aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento $\overline{OC}$ , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, $\overline{CB}$ .

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, $\overline{ED}$ , aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ángulo $\alpha \,$ alcance $3\pi/2 \,$ rad , el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento $\overline{CB}$ será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha} {\cos \alpha}$

que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que a medida que el coseno se acerca a valores cercanos a cero, la tangente tiende a infinito.

Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo $\alpha \,$ entre $3\pi/2 \,$ rad y rad las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para $3\pi/2 \,$ rad

$\sin (3\pi/2 ) = -1 \,$

$\cos(3\pi/2 ) = 0 \,$

$\tan(3\pi/2 ) = \infty \to No \; definida$

hasta los que toman para $2 \pi \,$ rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

$\sin (2 \, \pi ) = \sin\; 0 = 0 \,$

$\cos(2 \, \pi ) = \cos 0 = 1 \,$

$\tan(2 \, \pi ) = \tan 0 = 0 \,$

como puede verse a medida que el ángulo $\alpha \,$ aumenta, aumenta el coseno $\overline{OC}$ en el lado positivo de las x, el seno $\overline{CB}$ disminuye en el lado negativo de lasy, y la tangente $\overline{ED}$ también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando $\alpha \,$ , vale $2 \pi \,$ ó $0 \pi \,$ al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos:

$\sin \; \alpha = \sin(\alpha + 2 \, \pi \, n )$

$\cos \alpha = \cos (\alpha + 2 \, \pi \, n )$

$\tan \alpha = \tan(\alpha + 2 \, \pi \, n )$

Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número entero de rotaciones completas

Funciones trigonométricas recíprocas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recíproca se denominan con el prefijo arco, cada razón trigonométrica posee su propia función recíproca:

$y= \sin \, x \,$

y es igual al seno de x, la función recíproca:

$x = \operatorname {arcsin} \; y \,$

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

$y= \cos x \,$

y es igual al coseno de x, la función recíproca:

$x = \arccos y \,$

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcoseno de y.

si:

$y= \tan x \,$

y es igual al tangente de x, la función recíproca:

$x = \arctan y \,$

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangenta de y.

NOTA: Es común, que las funciones reciprocas sean escritas de esta manera:

$y = \operatorname {arcsin} \; x \quad \longrightarrow \quad y = \sin^{-1} x \,$

pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:

$y = \cfrac{1}{\sin x} \quad \longrightarrow \quad y = \csc x$

Razones trigonométricas inversas

Triángulo ABC proporcional con un ángulo inscrito en una circunferencia de centro A y radio 1

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:

$\csc \alpha = \frac{1}{\sin \; \alpha} = \frac{c}{a}$

En el esquema su representación geométrica es:

$\csc \alpha = \overline{AG}$

La secante (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \; \alpha} = \frac{c}{b}$

En el esquema su representación geométrica es:

$\sec \alpha = \overline{AD}$

La cotangente : (abreviado como cot o cta) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}$

En el esquema su representación geométrica es:

$\cot \alpha = \overline{GF}$

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

bloque 7

aplicación de las funciones trigonométricas
En un plano cartesiano, los catetos y la hipotenusa toman valores determinados
La hipotenusa es 1
cateto adyacente es "x"
cateto opuesto es "y"

Tomando en cuenta la razón de las funciones trigonométricas:

senA=co/hip
cosA=ca/hip
tanA=co/ca
cotA=ca/co
secA=hip/ca
cscA=hip/co haciendo las sustituciones correspondientes:

senA=y/1=y
cosA=x/1=x
tanA=y/x
cotA=x/y
secA=1/x
cscA=1/y

En un plano certesiano, cada seccion del mismo se llama cuadrante y lo distingen con #'s romanos
..........|
....II....|.....I
_____|_____ x
..........|
...III....|.....IV
.........y
Primer cuadrante, segundo cuadrante, tercer cuadrante y cuarto cuadrante
Enel I cuadrante, el valor de "x" y de "y" es +, por lo que TODAS las funciones trigonométricas son positivas. En el II cudrante "x" es - y "y" +, por lo que en este cuadrante el SENO y CSC son +'s. En el III cuadrante "x" es - y "y" es -, por lo que TAN y COT son+'s y en el IV cuadrante "x" + y "y" -,COS y SEC son +'s

El resultado de las funciones trigonométricasm se repiten en 2 cuadrante.
Entonces, en base al signo, en el 1er ejemplo, piden obtener las funciones trigonométricas de TanB=10/8 la cual corresponde al primer y tercer cuadrante, ya que en estos 2 la Tan es +
En el 2do, piden las funciones en el primer y segundo cuadrante
en el tercero, piden las funciones en el segundo y cuarto cuadrante

.............|
....sen...|...to
______.|______ x
.............|
....tan....|..cos
.............y En base al signo positivo, la palabra "tosentancos"
to=todas
sen=el seno y su recíproco
tan= la tangente y su recíproco
cos= el coseno y su recíproco

TRIGONOMETRIA

La palabra “trigonometría” se deriva de dos palabras griegas que se combinan para referirse a la medida de triángulos, es decir, a la medida de los lados y ángulos de un triángulo. Hiparco, un astrónomo nacido en Bitina (región en el Asia Menor) es considerado como el fundador de la trigonometría. La trigonometría tiene sus aplicaciones en la navegación, electrónica, ingeniería, ciencias físicas.

Círculo unitario y puntos circulares

Las funciones circulares que estudiaremos se basan en una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de puntos del círculo unitario. El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0) y su ecuación es x² + y² = 1.

Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular. Para eso, primero asumimos que la recta numérica tiene la misma escala que la del círculo unitario. Luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo. Entonces, el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj. De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario. En la página 340 del texto puedes observar la forma en que se enrolla la recta al círculo unitario.

Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es:

Así que un cuarto, una mitad y tres cuartos de la circunferencia son respectivamente:

De manera que, los puntos circulares correspondientes en los ejes coordenados son:

Nota: Observa que las coordenadas de los puntos circulares P(0) y P(2p) son iguales.

Ejemplo para discusión: Halla las coordenadas de los siguientes puntos:

Ejercicio de práctica: Halla las coordenadas de los puntos:

Otros ejemplos para discusión: Halla las coordenadas de:

En el texto en las páginas 342-345 se explica claramente el proceso para hallar las coordenadas de estos puntos circulares.

Tenemos que las coordenadas de los puntos circulares claves en el Cuadrante I son:

Ahora pasaremos a construir (en el salón de clases) el círculo unitario con todos los puntos circulares trabajados anteriormente y sus respectivas coordenadas.

Gráficas de las funciones (Seno, Coseno, Tangente)” al comportamiento que van presentando dichas funciones previamente mencionadas a través del recorrido de un conjunto de valores entrantes llamado así mismo (Dominio) y su conjunto de valores de salientes (Rango).

Estos dos valores (Entrante, Saliente) es lo que conforma en un momento dado una secuencia de elementos (Coordenada) a la cual le otorgamos una interpetación gráfica como elementos de un (Sistema de coordenadas cartesianas) formando una gráfica, que es lo que generalmente observamos ya como la (Gráfica de la función).

Como se muestra, para los casos de (Seno, Coseno, Tangente):

SENO (GRAFICA)

Comúnmente hacemos referencia a un (sistema de coordenadas cartesianas) como un conjunto de dos ejes graduados que se intersectan y nos permiten establecer una posición en base a esa graduación, como se observa en la imagen superior de la función.

COSENO (GRAFICA)

TANGENTE (GRAFICA)

Dichos gráficos, son parte de las relaciones conocidas como:

Los cuales son construidos a base de métodos de tabulación o conocimiento de periodos. Claro en lo que se refiere al trazado a mano por supuesto.

Denominamos proceso de (Tabulación) al hecho de construir una tabla donde se contemplen los valores de entrada y salida de la función. Donde los valores de salida son el producto de colocar en función los valores de entrada (Osea reemplazar en la función un suso dicho valor).

Construyendo una tabla como la siguiente (Considerando como ejemplo la función (Seno)):

Justamente de los valores que arroge la tabla una a una es construida las coordenadas por los elementos (X, F(X)) y es empleada de tal manera que X indica la cantidad de unidad a avanzar en el eje “X” hacia la derecha o izquierda dependiendo de su valor (Positivo o Negativo) de igual manera F(X) indica la cantidad de unidad a avanzar en el eje “y” hacia la arriba o abajo dependiendo de su valor (Positivo o Negativo) estableciendo el punto que represente la coordenada.

Como se muestra:

Este proceso se repite un número finito de veces, hasta ya obtener más o menos una idea del gráfico de la función..

Por otro lado las construcciones en un ambiente digital, toman otro sentido ya que existen actualmente programas informáticos especializados en la (Graficación de funciones) solamente contando con la función en sí. Como por ejemplo, el utilizado para la gráficación de las funciones anteriores llamado:

- Geogebra.

De tal manera que el programa se encarga de realizar la tabulación debida, así como su representación visual a medida que se va ocupando esta.. Pues el programa gráfica hasta ciertos criterios. Ya que de lo contrario nunca terminaría debido a la inagotable fuente de valores que se pueden asignar a las funciones (Dominio).

cotangente

secante

cosecante

bloque 8

aplicación de las leyes de senos y cosenos

Aplicaciones, Ley de los Cosenos

La ley de los cosenos tiene aplicación en las cantidades vectoriales:

Para encontrar la diferencia entre dos vectores, como en el caso de una colisión oblicua.

Tiene aplicaciones junto con la ley de los senos para el problema del ángulo de orientación para un avión sobre el viento.

Ley de los Cosenos

La ley de los cosenos para el cálculo de uno de los lados de un triángulo cuando se conocen el ángulo opuesto y los otros dos lados. Puede ser utilizado en conjunción con la ley de los senos para encontrar todos los lados y ángulos.

Haga clic en el texto seleccionado, ya sea para el lado c o el ángulo C, o para iniciar el cálculo.

Entrar datos para los lados a y b y uno de lado c, o ángulo C. Luego haga clic en el texto activo de la cantidad desconocida que desea calcular.
El cálculo del lado c es directo, pero el cálculo de los lados a o b es más complicado, puesto que cambiando cualquiera de c o ángulo C, fuerza el cambio en ambos lados a y b. Para calcular a o b, primero use la ley de los senos para encontrar el ángulo opuesto al lado que desee calcular. A continuación, utilice la ley de los cosenos para encontrar la longitud del lado desconocido.

Teorema del seno

Ejemplo

Resolver un triángulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30º

- Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y lados, colocamos los datos conocidos y resolvemos. Resolver un triángulo es decir lo que valen sus 3 ángulos y sus 3 lados.

Teorema del coseno

Ejemplo

Resolver un triángulo con los datos siguientes: a = 1200 m, c= 700 m y B = 108º

- Dibujamos el triángulo, nos dan 2 lados y el ángulo que forman, calculamos el lado b

Aplicaciones de estos teoremas para calcular distancias desconocidas

Calcular una altura desconocida a cuyo pie no se puede llegar

Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

dibujo

seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Esquema

bloque 9

aplicas la estadistica elemental

Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). Estas medidas aplicadas a las características de las unidades de una muestra se les denomina estimadores o estadígrafos; mientras que aplicadas a poblaciones se les denomina parámetros o valores estadísticos de la población. Los principales métodos utilizados para ubicar el punto central son la media, la mediana y la moda.

1. MEDIA

Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.

Donde (m) representa la media, (N) representa el tamaño de la población y (Xi) representa cada uno de los valores de la población. Ya que en la mayoría de los casos se trabajan con muestras de la población todas las ecuaciones que se presenten a continuación serán representativas para las muestras. La media aritmética para una muestra esta determinada como

Cuando los valores representan una población la ecuación se define como:

Ecuación 5- 2

aplicable si los datos se encuentran desa (22, 33, 35, 3o contrario debemos calcr su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1].

Ecuación 5-3

Donde (X) representa la Media para la muestra, (n) el tamaño de la muestra y (Xi) representa cada uno de los valores observados. Esta fórmula únicamente es aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso contrario debemos calcular la media mediante la multiplicación de los diferentes valores por la frecuencia con que se encuentren dentro de la información; es decir,

Ecuación de la Media para valores Agrupados

Ecuación 5-4

Donde (Yi) representa el punto medio de cada observación, (ni) es la frecuencia o número de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de la muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada clase.

Para entender mejor este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33, 35, 38 y 41). Para facilitar su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1].

Ejemplo del calculo de la Media para datos Agrupados - Medidas de Tendencia Central

Figura 5-1

Si aplicamos la fórmula para valores agrupados obtendríamos que la media es igual a

Es importante resaltar que existe una gran variedad de medias como la Media geométrica, la Media ponderada, la Media cuadrática, etc. Por el momento sólo hacemos énfasis en la media aritmética ya que es la más utilizada, aunque se recomienda a los lectores profundizar en estos temas.

Lo que nos indicaría que el promedio de edad para los datos desagrupados es de 34 años aproximadamente. Esta diferencia se debe a que al agrupar los datos se pierde parcialmente la exactitud de los cálculos, principalmente al aumentar el número de datos. Para evitar estos inconvenientes, SPSS nos permite fórmula

2. MEDIANA

Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula

Ecuación 5-5

Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería:

Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería,

Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el caso corresponden a (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor.

En conclusión la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta porciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales.

3. MODA

La medida modal nos indica el valor que m;"> Ecuacióntro
de los datos; es ds Agrupados

concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Medianapor el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por último la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.

Indicadores de desempeño:

- Identifica el significado de las diferentes medidas de tendencia central (media, mediana y moda) en casos prácticos.

- Obtiene las medidas de tendencia central de datos agrupados y no agrupados dentro y fuera de situaciones contextualizadas.

- Utiliza las medidas de tendencia central para analizar, interpretar, describir y comunicar información proveniente de diversas fuentes.

- Interpreta gráficas, tablas y diagramas mediante los elementos de la estadística elemental.

Situación didáctica 1:

Fermín es un estudiante de preparatoria que hace su servicio social en un pequeño hospital de su comunidad. El médico a cargo, le dice que a partir del registro de todos los pacientes que fueron atendidos el mes pasado, elabore un reporte donde se observe gráficamente cuáles fueron las edades de las personas que acudieron al hospital, y cuál fue la edad promedio.

Datos.

6, 14, 13, 13, 50, 45, 20, 22, 4, 7, 4, 11, 16, 22, 30, 78, 69, 68, 50, 33, 24, 66, 40, 23, 12, 65, 52, 58

¿Cómo quedaría la gráfica que le pidió el médico a Fermín?

Secuencia didáctica:

Actividades:

Resuelve los siguientes problemas

1. Los siguientes datos representan el tiempo en que fueron llenadas las cajas de sodas. Calcular el promedio de las cajas en minutos.

7,9,8,9,10,9.8,7

2. Obtengan la media aritmética de los siguientes datos no agrupados.

128,132,136,136,139,143,147.

Aplica la
Estadística elemental
UNIDAD DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos que representan fenómenos o experimentos de manera estadística, aplicando las medidas de tendencia central y de dispersión. Cuantifica y representa magnitudes mediante la representación en tablas y graficas de información proveniente de diversas fuentes. Interpreta y comunica la información contenida en tablas y graficas.
¿Qué APRENDO?
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIDAS DE DISPERSION
La primera gama de indicadores corresponde a las “MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL”. Existen varios procedimientos para explicar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más conocidos son: la media aritmética, la moda y la mediana. Estas medidas tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo de la información que este tratando para poder inferir e interpretar las características principales de la información que se este manejando.
El segundo grupo de indicadores serán “LAS MEDIDAS DE DISPERSION” que nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión el rango, varianza y dispersión estándar.
9.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son indicadores estadísticos que muestran hacia que valor (o valores) se agrupan los datos. Esta primera parte la dedicaremos a analizar tres medidas de tendencia central:
La medida aritmética
La moda
La mediana
9.2 LA MEDIDA ARITMETICA
Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muéstrales de datos po0blacionales, la media aritmética se representa como un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador u: en el caso de que estemos trabajando con una mues5tra, el símbolo será x.
MEDIA ARITMETICA (U O X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.
Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencia. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media aritmética.
A) MEDIA ARITMETICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Podemos diferenciar la formula del promedio simple para datos. X=EX/N
Apliquemos esta formula para resolver el siguiente caso.
El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase.
Las notas de los alumnos son:
3.2 3.1 2.4 4.0 3.5 3.0 3.5 3.8 4.2 4.0
¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase?
Aplicando la formula para los datos no agrupados tenemos:
X=3.2+3.1+2.4+4+3.5+3.0+3.5+3.8+4.2+4.0
10
X=3.47
Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una población correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total). El promedio de las notas es de 3,47.
Modifiquemos la primera nota por o, o y calculemos nuevamente la media aritmética.
X= 0.0+3.1+2.4+4+3.5+3.0+3.5+3.8+4.2+4.0
10
X=3.5
En este caso la medida pasa de 3.47 a 3.15. ¿Por qué? Comenta esto con tus compañeros de clase y tu asesor, relaciona lo anterior con el concepto de datos atípicos y escribe tus conclusiones en el siguiente espacio.

Porque al sumar 3.47 a 3.15
Da como resultado el valor de X.

B) MEDIA ARITMETICA PARA DATOS AGRUPADOS
La mayoría de los datos agrupados están concentrados en tablas de frecuencia.
Existen varios tipos d4e tablas de frecuencia y la siguiente tabla solo presenta dos aspectos a considerar: el dato principal y la frecuencia con la que se repite.
La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de preguntas de 81 encuestas sobre un test que consta de solo seis preguntas.

Preguntas correctas Personas
1 15
2 13
3 8
4 19
5 21
6 5

Paso 1: Realizamos la sumatoria del producto resultante de las clases por su frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15 veces el valor 1,13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, hasta llegar a la última clase:
Z, X, F=1.15+2.13+3.8+4.19+5.21+6.5=276
DONDE:
N c es el numero de clase
X es la clase
F es la frecuencia de cada clase.
En promedio los encuestados contestaron 3 preguntas buenas (el valor exacto es 3.41)
Calcula la media para los datos distribuidos en la siguiente tabla de frecuencia:
NI LM LS F MC
1 40,0 48,1 3 44.1
2 48,1 56,1 8 52,1
3 56,1 64,1 11 60,1
4 64,1 72,1 32 68,1
5 72,1 80,1 21 76,1
6 80,1 88,1 18 84,1
7 88,1 96,1 14 92,1
8 96,1 104,1 1 100,1

Las marcas de clase representan a los intervalos de clase, por ejemplo, suponemos que la marca de clase para el primer intervalo (44,1) se repite 3 veces, al desconocer los 3 valores exactos que están dentro de dicha intervalo.
Consideremos los mismos datos pero contenidos en la siguiente tabla y calculemos su media aritmética con el fin de comparar ambos resultados:
NI LM LS F MC
1 11,00 17,41 8 14,21
2 17.41 23,81 6 20,61
3 23,81 30,21 2 27,01
4 30,21 36,61 5 33,41
5 36.61 43,01 4 39,81
6 43,01 49,40 5 46,21
TOTAL 30
9.3 LA MEDIANA
Es un valor que divide una serie de datos en dos partes iguales.
La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales.
La definición geométrica se refiere al punto que divide en dos partes a un segmento .Por ejemplo; la mediana del segmento AB es el punto C.

A C B
Existen entonces dos segmentos iguales: AC=CB
A) MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Calculamos primero la mediana para datos no agrupados (cantidad de datos impar)
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3
Ordena los datos de forma ascendente.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
2 La mediana es 3, dejando 5 datos de cada lado.
Localiza el valor que divide en dos partes iguales el número de datos.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5

Tabla de frecuencias reportadas por la clínica
Clases(datos en años) Marca de clase X Frecuencia de cada clase F Frecuencias acumuladas F
10>X>20 15 8 8
20>X>40 25 20 28
30>X>40 35 14 42
40>X50 45 8 50
50>X>60 55 2 52
60>X>70 65 2 54
70>X>80 75 1 55
55 ENFERMOS ATENDIDOS

9.4 LA MODA
Indica el valor que más se repite, o la clase que posee más frecuencia.
En el caso de dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe un conjunto de datos sinodal.
A) MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistas a 30 personas sobre la marca de gaseosa que mas consume a la semana.
Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 marca 3
Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1
Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1
Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2
Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 3

9.5 MEDIDAS DE DISPERSION.
A los indicadores que vamos a estudiar ahora les llamamos medidas de dispersión, por cuanto que están referidos a la variabilidad que exhiben los valores de las observaciones, ya que si no hubiera variabilidad o dispersión en los datos interés, entonces no habría necesidad de la gran mayoría de las medidas de la estadística descriptiva.

9.6 EL RANGO O RECORRIDO (R)
Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como loa diferencia entre el valor mas alto (X n o X Max.) y el mas bajo (X1 o X min) en un conjunto de datos.

A) RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
R=X max.-X min=X n-X1

Si tienen las edades de cinco años estudiantes universitarios de 1er año, a saber; 18, 23, 27, 34, y 25.
R=(X – X) = 34 -18= 16 años

B) RANGO DE DATOS AGRUPADOS
Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el límite superior de la última clase menos el límite inferior de la primera clase
R= (lime. SAP de la clase n-lima. INI. De la clase 1)
Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de cabreras y asociados que fueron los siguientes.
Clases MC X F F r Fa F r a
7.420-21.835 14.628 10 0.33 10 0.33
21.83-50.250 29.043 4 0.13 14 0.46
36.250-50.665 43.458 5 0.17 19 0.63
50.665-65.080 57.873 3 0.10 22 0.73
65.080-79.495 72.288 3 0.10 25 0.83
79.495-93.910 86.703 5 0.17 30 1.00
total 30 1.00
.
9.7 LA VARIANZA
A) Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X 2,…, X n, la varianza denota usualmente por la letra minúscula griega.(sigma) elevada al cuadro(.2) y en otros casos $2 según otros analistas, se define como: el cuadrado medio de las desviaciones con respecto a su media aritmética.
Para calcular se utiliza una tabla estadística de trabajo de la siguiente manera:

X (X,-X) (x,-x)
18 (18-25.5)=7.4 (-7.4)=54.76
23 (23-25.5)=2.4 (-2.4)=5.76
25 (25- 25.5)=0.4 (-0.4)=0.16
27 (27-25.5)=1.6 (1.64)=2.16+
34 (34-25.5)=8.6 (8.6)=73.96
TOTAL 137.20

CLASES MC X F X-X (X-X) (X-X)
7.420-21.835 14.628 10 -28.83 831.1689 8311.689
21.835-36.250 29.043 4 -14.415 207.792225 831.1689
36.250-50.665 43.458 5 0 0 0
50.665-65.080 57.837 3 14.415 207.792225 623.376675
65.080-79.495 72.288 3 28.83 831.1689 2493.5067
79.495-93.910 86.703 5 43.245 1870.1003 9350.65013
TOTAL 30 43.245 3948.05228 21610.3914

9.8 LA DESVIACION ESTANDAR (.O S)
Desviación estándar;.= ..2 o s = .s2
1- Calcula la media , mediana y moda para los siguientes datos:
11 5 4 8 9 8 6 11 3 7 10 2 7 3 8
2- Determina la media y moda a la siguiente tabla de frecuencia
INTERVALO LIM. INF LIM. SUPERIOR FRECUENCIA F
1 100 150.1 1
2 150.1 200.1 2
3 200.1 250.1 15
4 250.1 300.1 16
5 300.1 350.1 21
6 350.1 400.1 14
7 400.1 450.1 11
8 450.1 400 7
TOTALES 87

3- Para que un producto sea aceptado por su cliente principal, debe cumplir con ciertas especificaciones de calidad.
Una de ellas, radica en que el promedio de longitud de los 20 primeros productos este entre 20.0 y 20.9 centímetros. Si las medidas son:
22.3 20.4 19.8 19.9 20.1 20.8 21.16 19.8 20.5 23.4 19.6 21.5 18.5 18.7 20.9 21.1 20.1 21.5 22.3 17.9

4-Calcula la media, mediana y moda para los siguientes datos de forma no agrupada y agrupada al final compáralos resultados de una conclusión de los datos obtenidos:
22.1 44.4 32.1 56.0 29.4 37.7 32.3 29.0 30.5 45.3 20.7 15.6 41.1 41.2 39.5 20.8 34.1 31.8 21.9 47.0 25.6
5-Los ingresos en pesos por hora de 30 hombres elegidos al azar se muestran a continuación.
45.16 79.85 76.91 88.91 62.59 88.61 54.33 16.60 19.92 19.48 6-37 58.42 56.70 37.25 83.61 22.07 65.73 99.49 34.20 41.50 92.22 53.20 62.59 58.00 77.41 47.10 42.16 91.46 45.40

6-Calcula el rango, la varianza y la desviación estándar de las observaciones que se representan a continuación.
63 45 39 55 69 21 50 25 33 25

7- Un profesor hace un examen a tres estudiantes y las puntuaciones resultantes (x1) son: 73. 75 y 77
A) Hallar la media, la varianza y la desviación estándar de esta población de valores.
B) En la clase hacia un calor terrible, y hubo alarma por la amenaza de incendio durante el examen. Él profesor quisiera aumentar las puntuaciones para tener en cuenta estas condiciones desafortunadas de ambientación. Un primer aumento suma 10 puntos a cada puntuación. Encuentra los nuevos valores.
C) Un segundo aumento incrementa cada puntuación en un 10%.

8-La distribución de frecuencia que se representa a continuación muestra el tiempo que se necesita para envolver 130 paquetes que fueron enviados por correo en Macondo

Tiempo (en minutos) No.de paquetes envueltos
0.5 a menos de 1.0 6
1.0 a menos de 1.5 12
1.5 a menos de 2.0 30
2.0 a menos de 2.5 42
2.5 a menos de 3.0 28
3.0 a menos de 3.5 12
Total 130

9-El siguiente cuadro muestra la distribución de la renta anuales (en miles de pesos) en que incurren 50 viviendas.

Marca de clase 18.85 21.55 24.25 26.95 29.65 32.35 35.05
No. De viviendas 3 2 7 7 11 11 9

10-Una compañía requiere los servicios de un técnico especializado. De los expedientes presentados, se han seleccionado 2 candidatos: Antonio y Braulio, los cuales reúnen los requisitos mínimos requeridos. Para decidir cual debe los 2 se va a contratar. Los miembros del jurado deciden tomar 7 pruebas a cada uno de ellos.
Prueba
1 2 3 4 5 6 7
Puntaje obtenido por Antonio 57 55 54 52 62 55 59
Puntaje obtenido por Aurelio 80 40 62 72 46 80 40

11- El DIF desea saber cual es el índice de natalidad en 2 municipios del estado de México, para lo que encuesto a 10 familias de cada municipio con los siguientes resultados.

Numero de hijos por familia
Ecatepec 3 4 1 4 2 3 1 5 4 3
Toluca 0 6 1 2 3 1 4 3 6 4

EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD

UNIDAD DE COMPETENCIA:
Construye e interpreta modelos que representan fenómenos o experimentos de manera probabilística, a través de la aplicación de la probabilidad clásica así como de las reglas de la suma y el producto. Cuantifica y representa magnitudes mediante la representación en tablas y graficas de información proveniente de diversas fuentes. Interpreta y comunica la información contenida en tablas y graficas.
10.1 EVENTOS DETERMINISTICOS Y ALEATORIAS
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iníciales de altura, velocidad,..etc., sabremos con seguridad donde caerá, cuanto tiempo tardara, etc. Es una experiencia determinantica. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos que cara quedara arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
10.2 ESPACIO MUESTRAL
A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio maestral.
Espacio nuestro es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.
Por ejemplo; Si se obtiene un dado cualquiera, el espacio muestra (EM) es EM= {1, 2, 3, 4 , 5 , 6}.
10.3 PROBABILIDA CLASICA
La probabilidad clásica de un evento, E, que denotaremos por P (E), se define como el numero de eventos elementales que componen al evento E, entre el numero de eventos elementales que componen el espacio maestral.

P (E)=numero de eventos elementales del evento E
Numero de eventos elementales del espacio muestra
Es la definición mas utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Ahora consideremos el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.
El espacio maestral seria {AS, SA, SS, AA}
Considera el evento de que salga un y solo un SOL.
P(SOL)=2/4=1/2=.5=50%
Por lo tanto
Las probabilidades se pueden representar en forma de fracciones, pero también las puedes expresar como decimales o porcentajes.
10.4 PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS
PROPIEDAD 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir,
P(A B)= P(A) +P (B)-P (AB)
PROPIEDAD 2. Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B. Es decir
P(A, B)=P(A)+P (B)
PROPIEDAD 3. Si es un evento y E su complemento, entonces
P (E)=1-P (E)
PROPIEDA 4. La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el evento B (el evento A depende del evento B) denotado P(A/B) es:
P(A/B)=P (B)
P (B)
Hay que denotar que esta propiedad no es conmutativa P(A/B) & P (P/B)
PROPIEDAD 5. Dos eventos A y B son independientes si solo si
P(A/B)=P (B/A)=P (B) o, que es lo mismo: P (A,B)=P (A) P (B)
Hallar
1. P (A,B) donde usaremos la propiedad 1
P (A, B) =P (A) +P (B) -P (A, B) = 3/8 + 1/2-1/4 = 5/8
2. P (A) usamos la propiedad 2
P (A) = 1 – P (A) = 1 – 3/8 = 5/8
3. P (B) usamos la propiedad 2
P (B) = 1 – P (B) = 1 – ½ = ½
4. P (A/B) usamos la propiedad 4
P (A/B) = P (A, B) = ¼ = ½ Aplica la

Estadística elemental
UNIDAD DE COMPETENCIA
Construye e interpreta modelos que representan fenómenos o experimentos de manera estadística, aplicando las medidas de tendencia central y de dispersión. Cuantifica y representa magnitudes mediante la representación en tablas y graficas de información proveniente de diversas fuentes. Interpreta y comunica la información contenida en tablas y graficas.
¿Qué APRENDO?
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIDAS DE DISPERSION
La primera gama de indicadores corresponde a las “MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL”. Existen varios procedimientos para explicar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más conocidos son: la media aritmética, la moda y la mediana. Estas medidas tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo de la información que este tratando para poder inferir e interpretar las características principales de la información que se este manejando.
El segundo grupo de indicadores serán “LAS MEDIDAS DE DISPERSION” que nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión el rango, varianza y dispersión estándar.
9.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son indicadores estadísticos que muestran hacia que valor (o valores) se agrupan los datos. Esta primera parte la dedicaremos a analizar tres medidas de tendencia central:
La medida aritmética
La moda
La mediana
9.2 LA MEDIDA ARITMETICA
Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muéstrales de datos po0blacionales, la media aritmética se representa como un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador u: en el caso de que estemos trabajando con una mues5tra, el símbolo será x.
MEDIA ARITMETICA (U O X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.
Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencia. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media aritmética.
A) MEDIA ARITMETICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Podemos diferenciar la formula del promedio simple para datos. X=EX/N
Apliquemos esta formula para resolver el siguiente caso.
El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase.
Las notas de los alumnos son:
3.2 3.1 2.4 4.0 3.5 3.0 3.5 3.8 4.2 4.0
¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase?
Aplicando la formula para los datos no agrupados tenemos:
X=3.2+3.1+2.4+4+3.5+3.0+3.5+3.8+4.2+4.0
10
X=3.47
Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una población correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total). El promedio de las notas es de 3,47.
Modifiquemos la primera nota por o, o y calculemos nuevamente la media aritmética.
X= 0.0+3.1+2.4+4+3.5+3.0+3.5+3.8+4.2+4.0
10
X=3.5
En este caso la medida pasa de 3.47 a 3.15. ¿Por qué? Comenta esto con tus compañeros de clase y tu asesor, relaciona lo anterior con el concepto de datos atípicos y escribe tus conclusiones en el siguiente espacio.

Porque al sumar 3.47 a 3.15
Da como resultado el valor de X.

Preguntas correctas Personas
1 15
2 13
3 8
4 19
5 21
6 5

A C B
Existen entonces dos segmentos iguales: AC=CB
B) MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Calculamos primero la mediana para datos no agrupados (cantidad de datos impar)
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3
Ordena los datos de forma ascendente.
2 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

3 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
4 La mediana es 3, dejando 5 datos de cada lado.
Localiza el valor que divide en dos partes iguales el número de datos.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5

9.4 LA MODA
Indica el valor que más se repite, o la clase que posee más frecuencia.
En el caso de dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe un conjunto de datos sinodal.
B) MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistas a 30 personas sobre la marca de gaseosa que mas consume a la semana.
Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 marca 3
Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1
Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1
Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2
Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 3

C) RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
R=X max.-X min=X n-X1

Si tienen las edades de cinco años estudiantes universitarios de 1er año, a saber; 18, 23, 27, 34, y 25.
R=(X – X) = 34 -18= 16 años

D) RANGO DE DATOS AGRUPADOS
Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el límite superior de la última clase menos el límite inferior de la primera clase
R= (lime. SAP de la clase n-lima. INI. De la clase 1)
Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de cabreras y asociados que fueron los siguientes.
Clases MC X F F r Fa F r a
7.420-21.835 14.628 10 0.33 10 0.33
21.83-50.250 29.043 4 0.13 14 0.46
36.250-50.665 43.458 5 0.17 19 0.63
50.665-65.080 57.873 3 0.10 22 0.73
65.080-79.495 72.288 3 0.10 25 0.83
79.495-93.910 86.703 5 0.17 30 1.00
total 30 1.00
.
9.7 LA VARIANZA
A) Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X 2,…, X n, la varianza denota usualmente por la letra minúscula griega.(sigma) elevada al cuadro(.2) y en otros casos $2 según otros analistas, se define como: el cuadrado medio de las desviaciones con respecto a su media aritmética.
Para calcular se utiliza una tabla estadística de trabajo de la siguiente manera:

X (X,-X) (x,-x)
18 (18-25.5)=7.4 (-7.4)=54.76
23 (23-25.5)=2.4 (-2.4)=5.76
25 (25- 25.5)=0.4 (-0.4)=0.16
27 (27-25.5)=1.6 (1.64)=2.16+
34 (34-25.5)=8.6 (8.6)=73.96
TOTAL 137.20

9.8 LA DESVIACION ESTANDAR (.O S)
Desviación estándar;.= ..2 o s = .s2
4- Calcula la media , mediana y moda para los siguientes datos:
11 5 4 8 9 8 6 11 3 7 10 2 7 3 8
5- Determina la media y moda a la siguiente tabla de frecuencia
INTERVALO LIM. INF LIM. SUPERIOR FRECUENCIA F
1 100 150.1 1
2 150.1 200.1 2
3 200.1 250.1 15
4 250.1 300.1 16
5 300.1 350.1 21
6 350.1 400.1 14
7 400.1 450.1 11
8 450.1 400 7
TOTALES 87

6- Para que un producto sea aceptado por su cliente principal, debe cumplir con ciertas especificaciones de calidad.
Una de ellas, radica en que el promedio de longitud de los 20 primeros productos este entre 20.0 y 20.9 centímetros. Si las medidas son:
22.3 20.4 19.8 19.9 20.1 20.8 21.16 19.8 20.5 23.4 19.6 21.5 18.5 18.7 20.9 21.1 20.1 21.5 22.3 17.9

6-Calcula el rango, la varianza y la desviación estándar de las observaciones que se representan a continuación.
63 45 39 55 69 21 50 25 33 25

7- Un profesor hace un examen a tres estudiantes y las puntuaciones resultantes (x1) son: 73. 75 y 77
D) Hallar la media, la varianza y la desviación estándar de esta población de valores.
E) En la clase hacia un calor terrible, y hubo alarma por la amenaza de incendio durante el examen. Él profesor quisiera aumentar las puntuaciones para tener en cuenta estas condiciones desafortunadas de ambientación. Un primer aumento suma 10 puntos a cada puntuación. Encuentra los nuevos valores.
F) Un segundo aumento incrementa cada puntuación en un 10%.

8-La distribución de frecuencia que se representa a continuación muestra el tiempo que se necesita para envolver 130 paquetes que fueron enviados por correo en Macondo

Tiempo (en minutos) No.de paquetes envueltos
0.5 a menos de 1.0 6
1.0 a menos de 1.5 12
1.5 a menos de 2.0 30
2.0 a menos de 2.5 42
2.5 a menos de 3.0 28
3.0 a menos de 3.5 12
Total 130

9-El siguiente cuadro muestra la distribución de la renta anuales (en miles de pesos) en que incurren 50 viviendas.

Marca de clase 18.85 21.55 24.25 26.95 29.65 32.35 35.05
No. De viviendas 3 2 7 7 11 11 9

11- El DIF desea saber cual es el índice de natalidad en 2 municipios del estado de México, para lo que encuesto a 10 familias de cada municipio con los siguientes resultados.

Numero de hijos por familia
Ecatepec 3 4 1 4 2 3 1 5 4 3
Toluca 0 6 1 2 3 1 4 3 6 4

EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD

P (E)=numero de eventos elementales del evento E
Numero de eventos elementales del espacio muestra
Es la definición mas utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Ahora consideremos el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.
El espacio maestral seria {AS, SA, SS, AA}
Considera el evento de que salga un y solo un SOL.
P(SOL)=2/4=1/2=.5=50%
Por lo tanto
Las probabilidades se pueden representar en forma de fracciones, pero también las puedes expresar como decimales o porcentajes.
10.4 PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS
PROPIEDAD 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir,
P(A B)= P(A) +P (B)-P (AB)
PROPIEDAD 2. Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B. Es decir
P(A, B)=P(A)+P (B)
PROPIEDAD 3. Si es un evento y E su complemento, entonces
P (E)=1-P (E)
PROPIEDA 4. La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el evento B (el evento A depende del evento B) denotado P(A/B) es:
P(A/B)=P (B)
P (B)
Hay que denotar que esta propiedad no es conmutativa P(A/B) & P (P/B)
PROPIEDAD 5. Dos eventos A y B son independientes si solo si
P(A/B)=P (B/A)=P (B) o, que es lo mismo: P (A,B)=P (A) P (B)
Hallar
5. P (A,B) donde usaremos la propiedad 1
P (A, B) =P (A) +P (B) -P (A, B) = 3/8 + 1/2-1/4 = 5/8
6. P (A) usamos la propiedad 2
P (A) = 1 – P (A) = 1 – 3/8 = 5/8
7. P (B) usamos la propiedad 2
P (B) = 1 – P (B) = 1 – ½ = ½
8. P (A/B) usamos la propiedad 4
P (A/B) = P (A, B) = ¼ = ½
P (B) ½

1.- Aerolíneas Argentinas acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos de Ciudad de México a Sonora:

Llagada Frecuencia
Antes de tiempo 100
A tiempo 800
Demorado 75
Cancelado 25
Total 1000

Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces
P (A) = 100/100 = 0.1
Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces
P (B) = 75/100 = 0.075

EL EZAR Y LOS DADOS
El desarrollo lúdico de una civilización es un inteligente modo de acercarnos a su historia, sus costumbres y sus normas sociales. El juego, instancia por excelencia en que se combinan esparcimiento y aprendizaje, puede introducirnos el maravilloso mundo de entretenimiento. Lo lúdico siempre que queda impregnado en la cultura y deja su huella marcado en muchos aspectos de ella. Se esparce eficientemente hacia aspectos insospechados.

P (B) ½

1.- Aerolíneas Argentinas acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos de Ciudad de México a Sonora:

Llagada Frecuencia
Antes de tiempo 100
A tiempo 800
Demorado 75
Cancelado 25
Total 1000

Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces
P (A) = 100/100 = 0.1
Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces
P (B) = 75/100 = 0.075

EL aZAR Y LOS DADOS
El desarrollo lúdico de una civilización es un inteligente modo de acercarnos a su historia, sus costumbres y sus normas sociales. El juego, instancia por excelencia en que se combinan esparcimiento y aprendizaje, puede introducirnos el maravilloso mundo de entretenimiento. Lo lúdico siempre que queda impregnado en la cultura y deja su huella marcado en muchos aspectos de ella. Se esparce eficientemente hacia

bloque 10

empleas los conceptos elementales de la probabilidad

¿Qué aprendo?
La probabilidad es una parte de las matematicas que mas aplicaciones en la vida cotidiana tiene y, por lo tanto, es necesario reconocer que no solo se trata de números, si no que también cuenta con características y propiedades que te permitirán interpretar diversos sucesos cotidianos.

10.1 eventos deterministas y aleatorios
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc; sabremos con seguridad donde caera, cuanto tiempo tardara, etc. Es una experiencia determinista. Si hechamos un dado sobre una mesa, ignoramos que cara quedara arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
La vida cotidiana esta plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico ( viajes, accidentes, entre otros); aunque son suma de muchas desiciones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorias.
Experimentos o fenómenos aleatorios: son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cual de estos va a ser observado en la realización del experimento.
Suceso aleatorio: es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier proceso, entonces los resultados pueden tomar cualquier tipo de valor por esta razón, se define como experimento aleatorio al proceso en que se pueden predecir con certeza la ocurrencia de sus eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay que hacer la observación de que esta definición habla en términos generales y no específicamente sobre un experimento.
En cambio, aun experimento no aleatorio se le denomina experimento deterministico por que para que suceda no depende del azar
Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importan el numero de experimentos o sus situación ocurren, yen cambio existe otros que nunca suceden, los que siempre ocurren son los eventos seguros, y los que nunca son los eventos imposibles pero ambos se les puede reconocer como eventos deterministicos.
Espacio muestral: es el conjunto formado por todos los posibles resultados por un experimento aleatorio, en adelante lo desígnamelos por e.
Por ejemplo: si te tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (em)es EM={1,2,3,4,5,6}.
Si existen mas de una variable, el espacio muestral esta formado por las convinaciones de valores de cada una de las variables.
Aquella variable que esta asociada a un experimento de variable aleatoria. Se habla de eventos dentro del mismo experimento se llaman eventos mutuamente excluyentes es decir, ocurre el primero o el segundo pero no los 2 al mismo tiempo.
En ocasiones un evento o mas eventos depende de otro es decir un evento A ocurre dado que ocurrió un evento B si existe este tipo de relación entre eventos se dice que son eventos dependientes o condicionados (el evento A depende del evento B, o el resultado del evento A esta condicionado al resultado del evento B). por otro lado si no existe tal relación entre eventos se dice que son eventos independientes.
10.3 Probabilidad clásica
Larpobabilidad clásica de un evento E que denotaremos por el P (e) ; se define como numero de eventos elementales que componen al evento E, entre el numero de eventos elementales que componen es espacio muestral:
p(e)=(numero de eventos elemental es del evento E)/(numero de eventos elementales del espacio muestral)
Es la definición mas utilizada por que supone de ante mano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir ahora consideramos el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.
El espacio muestral seria {AS,AS,SS,AA}.
Considera el evento de que salga un y solo un SOL.
p(sol)=2/4=1/2=.5=50%
por lo tanto aparte las probabilidades se pueden representar de fracciones, pero también las puedes expresar por puntos y decimales.
10.4 Probabilidad de eventos compuestos.
Cuando se tienen eventos únicos no existe mucho problema en el sentido del calculo de las probabilidades, pues basta con una contabilización y el uso de la probabilidad clásica. Pero en el caso de eventos compuestos, que son los que tienen mas de un evento, el proceder de manera análoga resulta muy complejo y las operaciones pueden sobrepasar la capacidad de calculo existente. Sin embargo, utilizando los axiomas de la probabilidad y las siguientes propiedades, se podrán expresar las probabilidades de estos eventos en términos de los eventos elementales que lo componen, siempre y cuando se conozcan las probabilidades de estos.
Veamos la probabilidad de una unión eventos (AOB), la cual podremos calcular de la sig manera:
Propiedad 1. Si A o B son mutuamente la pro validad de que ocurra A o B es igual a la suma de probabilidades de u} ocurrencia de A y B simultáneamente es decir,
P(A o B)= P (A) + P(B)- P(A o B).
Ahora como si el caso es que los eventos sea mutuamente excluyentes se tiene:
Propiedad 2. Si dos eventos A y B, son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de la probabilidades de ocurrencia de A y de B. es decir
P(A o B)= P (A)+ P (B).
Otra propiedad que se derivan de las anteriores es cuando se busca la probabilidad del complemento de un evento E, que denotaremos como E:
Propiedad 3. Si es un evento y E su complemento, entonces
P(E) =1-P(E).
Retomando los conceptos de eventos dependientes o condicionales, se van a definir la probabilidad condicional como sigue:
Propiedad 4. La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el evento B (el evento A depende del evento B), denotado P(A/B) es :

p=((a/p)=p(a o b))/(p (b) )
Ha que notar que esta propiedad no es conmutativa P (A/B)≠ P (B/A)
Finalmente, el criterio para la independencia de eventos queda como sigue:
Propiedad 5. Dos eventos A y B so independientes si y solo si.
P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B) o, que es lo mismo : P(AoB)= P(A)XP(B)
Para ejemplificar las propiedades anteriores resolvamos unos ejemplos.
Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
p(A)=3/8 p(B)=1/2 p(AoB)=1/4

Hallar
1.- P(AoB) donde usaremos la propiedad 1
P(AoB)= P(a)+P(B)-P(AoB)=3/8+(1^ )/2-1/4= 5/8
2.- P(A) usamos la propiedad 2
P(A)=1-P(A)= 1- 3/8=5/8
3.- P(B) usamos la propiedad 2
P(B)=1-P(B)=1- 1/2=1/2
Analizamos ahora las mismas propiedades pero aplicadas a casos prácticos, si en algún momento te surgen dudas acude a tu asesor.
1.- aerolíneas Argentinas acaba de proporcionar la siguiente información de vuelos a la ciudad de mexico a sonora:
Llegada Frecuencia
Antes de tiempo 100
A tiempo 800
Demorado 75
Cancelado 25
Total 1000

Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces P (A) es igual a 100/1000=0.1
Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces P (B= es igual a 75/1000 es igual a 0.075.
La probabilidad que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es.
P (AoB)= P (A)+P(B)=.1+.075=0.175.
No obstante que usamos la propiedad 2 y no la propiedad . ¿ por que? ¿ tendrá que ver con el tiempo de eventos comenta esto con tus compañeros y asesor y da una breve explicación si C.
Si Ces el evento de que u vuelo llegue a tiempo, entonces.
P(C)= 800/1000=0.8
Si D es el evento de que un vuelo sea cancelado, entonces
P(D)=25/1000=0.025
Busquemos la probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo (A o demorado B. la regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra que evento restando del numero 1 la probabilidad de que un evento no ocurra.
P (antes o demorado)= 1-P(a tiempo o cancelado)
Y con formula.
P (A o B) =1-P(C o D)= 1-[.8+.025]=.175

Conceptos básicos de probabilidad
2. Experimento:Es el proceso mediante el cual se obtiene una observación.Experimento Aleatorio:Cuando sus resultados no son posibles de predecir antes de su realización y, por lo tanto están sujetos al azar.Espacio Muestral:El conjunto integrado por todos los resultados posibles de un experimento. Se identifica o denota con la letra “S”.Evento:Es uno o más de los posibles resultados de un experimento. Cuando un evento consta de un sólo posible resultado recibe el nombre de “eventos simple”, pero si está integrado por dos o más se llama “evento compuesto”.
3. Ejemplo: Suponga el lanzamiento de una moneda.Defina el experimento:Indique el espacio muestralIndique los eventos posibles
4. Diagrama de árbol o arborigramaUna urna contiene tres pelotas (una roja, una blanca y otra verde) y se seleccionan dos de ellas con reposición o reemplazo (esto significa que se selecciona dos pelotas, se observa su color, y se repone o devuelve a la caja antes de hacer la segunda selección. Represente el espacio muestral por medio de una diagrama de árbolS ={ ( R,R ), ( R,B ), ( R,V ), ( B,R ), ( B,B ), ( B,V ), ( V,R ), ( V,B ), (V,V ) }
5. Diagrama de árbol o arborigramaUna urna contiene tres pelotas (una roja, una blanca y otra verde) y se seleccionan dos de ellas sin reposición o reemplazo (esto significa que se selecciona una pelota y no se devuelve a la caja antes de ser realizada la segunda selección). Represente el espacio muestral por medio de una diagrama de árbolS = { (R,B), (R,V), ( B,R), (B,V), (V,R), (V,B) }
6. Probabilidad de un eventoPlanteamiento clásico: Planteamiento de frecuencia relativaLa frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos.La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condicione son estables.Planteamiento subjetivoLa probabilidad subjetiva se define como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basado en la evidencia que se tenga disponible.
7. Probabilidad de un eventoConsidere el experimento del lanzamiento de una moneda, calcular la probabilidad de obtener una cara en solo lanzamiento utilizando el planteamiento clásico.Suponga que una compañía de seguros sabe, por la información obtenida de los datos actuariales registrados, que de los hombres mayores de 40 años, 60 de cada 100,000 morirán en un período de un año. Utilizando el métodos de frecuencia relativa estime la probabilidad de muestre un individuo de ese grupo de edad.Un juez debe decidir si permite la construcción de una planta nuclear en un lugar donde hay evidencia de que exista una falla geológica. Debe preguntarse a sí mismo ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente nuclear grave en este sitio?. El hecho de que no exista una frecuencia relativa de la presentación de la evidencia de accidentes anteriores en este sitio, no es suficiente para liberarlo de tomar la decisión. Debe utilizar su mejor sentido común para determinar la probabilidad subjetiva de que suceda un accidente nuclear.
8. Axiomas de la probabilidadLa probabilidad del espacio muestral es igual a uno. P(S) = 1La probabilidad de un evento se encuentra entre 0 y 1: Si el evento no puede ocurrir su probabilidad es de 0, pero si ocurre siempre su probabilidad es igual a 1.0 ≤ P (A) ≤ 1Si se suman las probabilidades de cada uno de los eventos Ai mutuamente excluyentes del espacio muestral, la probabilidad total es igual a 1.La probabilidad de un evento es igual a la suma de las probabilidades de sus posibles resultados.
9. Ejemplo del cálculo de probabilidadEn una encuesta sobre el tránsito demuestra que en cierto crucero, la probabilidad de que los vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo.Represente el espacio muestral.Indique la probabilidad de cada uno de sus resultados posibles. Sea el evento C= vehículo seleccionado de vuelta a cualquier lado del crucero, calcular su probabilidad.
10. P (A U B) = P (A) + P (B) – P(A B)ABABEventos mutuamente no excluyentesEventos mutuamente excluyentesSe dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar en un mismo tiempo. Es decir o uno o el otro, pero no pueden suceder ambos al mimos tiempo.Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces:Sean los eventos A y B mutuamente no excluyentes y subconjuntos de un mismo espacio muestral S, entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B es: Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces:P (A U B) = P (A) + P (B)
11. LID0.310.540.15Ejemplo de eventos mutuamente excluyentesUna encuesta sobre el tránsito demuestra que en cierta intersección, la probabilidad de que los vehículos den vuelta a la izquierda es de 0.15, de 0.31 si dan la vuelta a la derecha, y de 0.54 si siguen de largo. Calcular la probabilidad de que un auto de vuelta a la izquierda o a la derecha.
12. UA´AEventos complementariosEl evento complemento del evento A, es aquél que posee todos los resultados del espacio muestral que no pertenecen al evento A.
13. Eventos DependientesProbabilidad condicionalSean A y B dos eventos estadísticamente dependientes, entonces, la probabilidad condicional de A dado B, denotado por P(A / B), es la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió.P(A / B) = P(A ∩B) P(B)P(A/B) = probabilidad de que ocurra el evento A, dado que el evento B ya ocurrió.P(A∩B) = probabilidad de que ocurra A y BP(B) = probabilidad de que ocurra el primer evento B.
14. Eventos IndependientesProbabilidad condicionalSean A y B dos eventos independientes, entonces, la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió, se denomina probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A/B).P(A/B) = P(A)
15. Eventos Independientes Probabilidad conjunta Se define como la probabilidad de que dos o más eventos se presenten juntos o en sucesión, es decir la P(A y B)La probabilidad de que dos o más eventos independiente se presenten juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales . P(A∩B) = P(A) P(B)

martes, 16 de abril de 2013

bloque 1

Ejercicio 1)

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

1

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

2

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

3

Problemas resueltos de triángulos rectángulos

4

bloque 2

Criterios de congruencia

Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:

Postulado LAL

Postulado ALA

Postulado LLA

Postulado LLL

TEOREMAS DE TALES (LOS DOS TEOREMAS DE TALES )

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Segundo teorema

TEOREMAS DE PITÁGORAS Y SUS APLICACIONES

Teorema de Pitágoras:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

PROBLEMAS

4) Los lados de un triángulo rectángulo estan dados por: x, x-2, x+2; Obtener la medida de cada lado.

5) Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 8 cm y su hipotenusa mide 2cm mas que su otro cateto, Calcular la medida de cada lado.

Teorema de Pitágoras

BLOQUE 4

*POLIGONOS*

Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).

SIMPLE O COMPLEJO

PROBLEMAS

a) ¿Cuál es el menor número de lados de un polígono para que pueda descomponerse en triángulos?

ANGULO CENTRAL

La regla general

Área de un polígono regular

Área de un polígono irregular

Perímetro de polígonos regulares e irregulares por diversos métodos

Perímetro del Círculo

Deducción área del círculo mediante el uso de la geometría

Deducción área del círculo mediante el uso del cálculo integral

Perímetro del círculo

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

1

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

2

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

3

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

4

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

5

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

6

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

7

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

8

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

9

Circunferencia y círculo. Ejercicios resueltos

10

bloque 6

sistema sexagesimal y circular

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS E INVERSAS

sentido de las razones trigonométricas

Funciones trigonométricas recíprocas

Razones trigonométricas inversas

bloque 7

Aplicaciones, Ley de los Cosenos

Ley de los Cosenos

Teorema del seno

Ejemplo

Teorema del coseno

Ejemplo

Aplicaciones de estos teoremas para calcular distancias desconocidas

Calcular una altura desconocida a cuyo pie no se puede llegar

Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles

1. MEDIA

POLIGONOS